Франция

  Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и французский математик Ж. Арган (Арганд), 1806], разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых.Расширение круга прикладных задач естествознания и техники, при исследовании которых используются различные разделы математики. Необходимость логического анализа большого фактического материала и объединение его с новых точек зрения.
  Современная алгебра.
  Некоторые пути формирования новой алгебры. Создание теоретико-групповых методов: начало теории групп в алгебре, в геометрии, в анализе и в математическом естествознании. Ж.Лагранж и его группа подстановок, условия разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени (Э.Галуа, группы Галуа).
  Общее определение группы у А.Кели. К.Жордан об использовании конечных групп в теории чисел, теории функций и геометрии. Топологические группы (Ван Данциг, А.Пуанкаре). Развитие теории групп в ХХ веке (Л.С.Понтрягин, Е.Картан, Г.Вейль и др.). Становление теории полей, колец, и других алгебраических структур и их тесное взаимодействие с другими математическими дисциплинами, приведшее к формированию алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии, алгебраической топологии, теории алгебраических функций. Формирование линейной алгебры. Кватернионы и гиперкомплексные числа (У.Р.Гамильтон, Г.Грассман, Г.Фробениус). А.Пуанкаре – в работе над задачами геометрической теории функций комплексного переменного. Выработка единых принципов классификации геометрических систем, разработка аксиоматического метода всей геометрии. Развитие многомерной геометрии (Даламбер, Лагранж, Кели, Г.Гроссман,Э.Бетти, К.Жордан). Формирование векторного и тензорного анализа. Многомерная аналитическая геометрия. Аксиоматика евклидова трёхмерного пространства(М.Паш, Д.Пеано, Д.Гильберт) и n-мерного (Г.Вейль) пространства. Бесконечномерные пространства.
  Развитие аналитической теории чисел, гипотеза Эйлерао о бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии, её решение у Лежандра и Дирихле.Поиски аналитического выражения закона распределения простых чисел: эмпирическая формула Лежандра Задача Е.Варинга и её исследование (Лагранж, Гильберт, Харди, Литлвуд, Виноградов). Ж.Адамар и Ш.Ла Валле-Пуссен завершают исследования Л.П.Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел.
  Реформа анализа в трудах О.Коши, Б.Больцано, Н.Абеля, К.Гаусса и К.Вейерштрасса. Понятие предела Б.Больцано и О.Коши как основной операции математического анализа; понятие бесконечно малой величины, непрерывности суммы ряда, производной, дифференциала и интеграла на основе понятия предела (О.Коши). Построение фундамента для работ по обоснованию анализа;
  Уравнения математической физики. Парижская и Петербургская научные школы (С.Пуассон, И.Фурье, О.Коши, В.Я.Буняковский, М.В.Остроградский, В.А.Стеклов). Французские математики (А.Пуанкаре, Э.Пикар, Э.Гурса, Ж.Адамар). Оператор Лапласа, гармонические функции. формула Гаусса-Остроградского. Задачи Дирихле, К.Неймана. Теория потенциала, теория обратных задач потенциала, способствовавшая появлению нового раздела математики – теории некорректных задач. Математическая теория теплопроводности. Ж.Б.Фурье. Ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье (Дирихле, Лобачевский, Риман др.)
  Теория дифференциальных уравнений: Задача Коши, теоремы существования и единственности Коши, С.В.Ковалевская, Е.Пикар). Внедрение в теорию дифференциальных уравнений теоретико-групповых представлений (С.Ли, А.Пуанкаре) и создание качественных методов (топологические методы А.Пуанкаре, теория устойчивости А.М.Ляпунова). Теория динамических систем.
  Топология. Начало «комбинаторных», «гомологических» и «гомотопических» методов в работах Р.Римана и А.Пуанкаре; их разработка Л.Брауэром, О.Вебленом, Дж.Александером, С.Лефшетцем, Г.Хопфом. Построение теории общих топологических пространств (М.Фреше, Ф.Хаусдорф, П.С.Урысон, П.С.Александров, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин); применение топологических методов в анализе (Г.Биркгоф, М.Морс, Ю.Шаудер, Л.А.Люстерник).
  Формирование теории функций комплексного переменного: вхождение в математику мнимых и комплексных объектов (Р.Бомбелли, Г.В.Лейбниц, И.Бернулли); уравнения гидродинамики Даламбера-Эйлера; формулы Эйлера для показательной и логарифмической функций от комплексного аргумента, связь с тригонометрическими функциями; решение Эйлером задачи о конформном отображении областей сферы на плоскость; введение основных понятий – геометрическая интерпретация комплексного числа, интегрирование по комплексной переменной (Гаусс, Лаплас, Пуассон), теорема Коши, понятие вычета и теория вычетов, интегральная формула Коши. Ряд Р.Лорана. Формирование теории аналитических функций, краевые задачи, принцип Дирихле. Геометрическая теория аналитических функций: Риманова поверхность, конформные отображения. Дзета-функция Римана (гипотеза Римана) и аналитическая теория чисел. Развитие теории функций комплексного переменного (через степенные ряды) в работах К.Вейерштрасса – идеи аналитического продолжения, изучение конкретных классов функций. Аналитическая теория функций комплексного переменного, целые и мероморфные функции (К.Вейерштрасс, С.В.Ковалевская, М.Миттаг-Леффлер, Ш.Эрмит, Э.Пикар, Э.Лагерр, А.Пуанкаре). Работа Ж.Адамара об аналитическом продолжении и корректность по Адамару. Рабрты Пуанкаре, Клейна и Р.Кёбе о связи геометрии Лобачевского с римановыми поверхностями, о значении неевклидовой геометрии в изучении этих поверхностей и свойств связанных с ними аналитических функций. Работы Н.Е.Жуковского и С.А.Чаплыгина и их приложения в аэро- и гидродинамике. Специальные функции: модулярные функции Эрмита, автоморфные Клейна и Пуанкаре, алгебраические Абеля и Якоби, функции Л.Шварца. Связь теории функций комплексного переменного с другими разделами математики через внесение в неё понятий из теории множеств, из теории функций действительного переменного, теории групп и топологии, которые подверглись глубокому логическому анализу и уточнению.
  Теория функций действительного переменного как результат систематического построения математического анализа, глубже и шире изучающая общие определения и понятия анализа бесконечно малых – предел, топология числовой прямой, функция, интеграл, дифференциал : понятие меры множества, интеграл Лебега, проблема восстановления функции по её производной, переход к пределу под знаком интеграла, разложение функции в тригонометрические ряды и др. Основы современной теории функций действительного переменного в работах французских математиков (К.Жордан, Э.Борель, Г.Лебег, Р.Бэр, П.Леви). Становление и развитие функционального анализа, влияние теории функций действительного переменного и теории множеств на его методы. Взаимосвязь функционального анализа с классическим анализом, вариационным исчислением (задачи на максимум и минимум функционалов), с математической физикой (через теорию операторов – интегральные уравнения В.Вольтерра и Э.Фредгольма).Создание теории вероятностей. Предыстория понятия вероятности и случайного события (Д.Кардано, Н.Тарталья, Г.Галилей, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс и др.). Бурный рост статистических концепций в различных областях естествознания, неизбежность привлечения методов теории вероятностей в приложениях от теории артиллерийской стрельбы и теории ошибок до развития статистической физики и механики и разработки аппарата математической статистики). Формирование основ теории вероятностей (Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, Т.Байес, К.Гаусс, С.Пуассон и др). Работы Р.Мезиса. Э.Бореля, П.Леви, В.Феллера и др.). Теории «случайных» процессов и ассимптотическое изложение теории вероятностей, исходящее из усмотренных впервые Борелем аналогий между понятием вероятности и и понятием меры в теории функций действительного иеременного. Возрастающая роль дискретной математики в её приложениях – автоматы и автоматические линии, схемы оптимальной организации производственных процессов, электронные платы, транспортные потоки, системы связи и управления, коды и другие средства защиты информации, ЭВМ на принципах дискретного счёта. Разработка соответствующих математических моделей (графы, матрицы, блоксхемы, производящие функции, дискретно-геометрические построения, специальные схемы логических высказываний и т.п. Период накопления конкретных комбинаторных результатов: фигурные числа (с 19 века – графы), магические квадраты, биномиальные теоремы, арифметический треугольник (Пифагор, Диофант, Ферма, Декарт и др.). Первые теоретические построения, идеи общей комбинаторной теории (Г.В.Лебниц), К.Ф.Гинденбург), связь с вероятностными задачами, теорией чисел и алгеброй. Комбинаторика в работах Л.Эйлера (задачи о разбиениях чисел, о паросочетаниях, о числовых квадратах, циклические расстановки с выбыванием, задача о мостах в г. Кенигсберге). Комбинаторный анализ К.Ф.Гинденбурга и его последователей: попытка построения общей комбинаторной теории, построены алгоритмы работы с комбинаторными комплексами, использование комбинаторных методов в теории рядов и последовательностей, в работе с непрерывными дробями. Дискретные методы математического исследования в Х1Х веке: задачи о встречах, задачи о гостях, теория разбиений и метод производящих функций, развитие теории графов (проблема анализа химических соединений, задача о 4 красках), создание основ алгебраической топологии. Таблично-матричный и схемный аппарат, его связь с теорией конечных групп, конечных геометрий и его применение (И.Вейраух. А.Кели, Дж.Сильвестр, Т.Симпсон, И.Б.Листинг, У.Р.Гамильтон, Т.П.Киркман, К.Жордан, Д.Пойа, Ю.Х.Петерсен, А.Пуанкаре. Построение в ХХ веке общих комбинаторных теорий: Е.Нетто и его «Lehrbuch der Combinatorik» с дополнениями 1927 года (Вигго Брун, Туральд Теодор, Альберт Сколем). Комбинаторика Мак Магона, симметрические функции, теория инвариантов. Графовые интерпретации общей комбинаторной теории, теория графов как самостоятельная важная часть математики, аналогии между графами и структурами векторного пространства; образование, развитие и применение структуры «матроид» (Д.Кёниг, Д.Пойа, Веблен Освальд, Уитни).
  
  Даламбер, Лагранж, Кели, Г.Гроссман,Э.Бетти, К.Жордан).

Учёные (за все периоды): Виет Ф., Галуа Э., Декарт Р., Жордан К., Коши О., Лагранж Ж., Лаплас П., Лебег А., Ферма П.

Германия

  Куммер внёс вклад в анализ, теорию алгебраических чисел, геометрию, теоретическую механику.
  В анализе он продолжил работы Гаусса по гипергеометрическим рядам. Его имя носит известный признак сходимости.
  В теории чисел он с 1837 года много занимался Великой теоремой Ферма и доказал её для целого класса простых показателей. Проблему он не решил, но в ходе исследования получил множество ценных результатов, например, открыл идеальные числа и описал их необычные свойства (1846). За эти работы он получил Большой приз Парижской Академии наук (1857).
  Куммер также доказал закон взаимности для всех степенных вычетов с простым показателем. Продвинуться дальше удалось только Гильберту спустя несколько десятилетий.
  Неопубликованные работы Гаусса по неевклидовой геометрии,работы по теории чисел, по обоснованию интегрального и дифференциального исчисления, теории групп.
  Гильберт: математический анализ, функциональный анализ, теория чисел, математическая физика, геометрия и топология, 23 проблемы Гильберта. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом её последующего развития. В развитии теории алгебраических полей фундаментальную роль сыграла монография Гильберта «Теория полей алгебраических чисел», на десятилетия ставшая основой последующих исследований по этой теме. Построенная Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов.Аксиоматизация алгебры (Дж.Булль, Р.Дедекинд, Д.Гильберт, Э.Нетер, Э.Артин, О.Ю.Шмидт, А.Г.Курош). Новый подход к предмету алгебры – множества с аксиоматически заданными на них алгебраическими операциями.
  Построение фундамента для работ по обоснованию анализа; построение теории вещественных чисел (Р.Дедекинд, Г.Кантор и К.Вейерштрасс).
  Расширение предмета математики.
  Расширение круга прикладных задач естествознания и техники, при исследовании которых используются различные разделы математики. Необходимость логического анализа большого фактического материала и объединение его с новых точек зрения.
  Современная алгебра.
  Группы в работах К.Гаусса. по теории чисел. Общее определение группы у А.Кели. Теоретико-групповая классификация типов геометрий у Ф.Клейна. Непрерывные группы С.Ли и проблема интегрирования дифференциальальных уравнений. Топологические группы (Ван Данциг, А.Пуанкаре). Развитие теории групп в ХХ веке (Л.С.Понтрягин, Е.Картан, Г.Вейль и др.). Становление теории полей, колец, и других алгебраических структур и их тесное взаимодействие с другими математическими дисциплинами, приведшее к формированию алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии, алгебраической топологии, теории алгебраических функций. Использование групп в кристаллографии (Е.С.Фёдоров, А.Шенфлис) и в квантовой физике (де Бройль, Е.Шреденгер, Дирак и др.). Проблема Д.Гильберта и её решение Л.С.Понтрягиным. Формирование линейной алгебры. Кватернионы и гиперкомплексные числа (У.Р.Гамильтон, Г.Грассман, Г.Фробениус). Аксиоматизация алгебры (Дж.Булль, Р.Дедекинд, Д.Гильберт, Э.Нетер, Э.Артин, О.Ю.Шмидт, А.Г.Курош). Новый подход к предмету алгебры – множества с аксиоматически заданными на них алгебраическими операциями.
  Геометрия. Неевклидова геометрия Н.И.Лобачевского. Я.Бойяи, К.Гаусс. Изменение взгляда на природу пространства. Вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии, её интерпретации (Е.Бельтрами «Опыт истолкования неевклидовой геометрии»; Ф.Клейн «О так называемой неевклидовой геометрии»; А.Пуанкаре – в работе над задачами геометрической теории функций комплексного переменного). Выработка единых принципов классификации геометрических систем, разработка аксиоматического метода всей геометрии. Проективная классификация типов геометрий по Ф.Клейну. Геометрия как учение об инвариантах группы преобразований; «Эрлангенская программа» Ф.Клейна и его геометризация математики. Многомерная аналитическая геометрия. Аксиоматика евклидова трёхмерного (М.Паш, Д.Пеано, Д.Гильберт) и n-мерного (Г.Вейль) пространства. Бесконечномерные пространства.
  Теория чисел после Эйлера. Труды Л.Эйлера по теории чисел как источник для позднейших исследований. Общая теория квадратичных форм К.Гаусса; создание теории идеалов Э.Куммером; обобщения сравнений и квадратичного закона взаимности у К.Гаусса, Э.Куммера, Д.Гильберта, завершенные общей формой этого закона у И.Р.Шафаревича и др. Развитие аналитической теории чисел, гипотеза Эйлерао о бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии, её решение у Лежандра и Дирихле.Поиски аналитического выражения закона распределения простых чисел: эмпирическая формула Лежандра, формула П.Л.Чебышева. Проблема Римана о расположении нулей дзета-функции. Аддитивная теория чисел, метод производящих функций в работах Эйлера, И.М.Виноградова, Г.Харди, Дж.Литлвуда. Задача Е.Варинга и её исследование Лагранж, Гильберт, Харди, Литлвуд, Виноградов). Создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградовым, доказательство им одной из проблем Гольдбаха. Применение аппарата непрерывных дробей при доказательстве трансцендентности чисел е (Ш.Эрмит) и π (Ф.Линдеман).
  Проблема Гильберта об арифметической природе алгебраической степени алгебраического числа, и её решение А.О.Гельфондом. Работы К.Гаусса по теории чисел, их роль для понимания теории чисел как стройой теории, задачи которой побуждают к развитию новых и тонких методов анализа (особенно комплексного), алгебры и геометрии. Совершенство теории чисел в конце 19в. и в 20в.: Основы современной алгебраической теории чисел (Э.Куммер, Л.Кронекер, Р.Дедекинд, Е.И.Золотарёв, Д.Гильберт), Ж.Адамар и Ш.Ла Валле-Пуссен завершают исследования Л.П.Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел, геометрические методы Г.Минковского, значителен вклад в теорию чисел работ российских (А.Н.Коркин, Г.Ф.Вороной, А.А.Марков) и советских (И.М.Виноградов, Л.Г.Шнирельман, Б.Н.Делоне, А.О.Гельфонд и др.) математиков.
  Реформа анализа в трудах О.Коши, Б.Больцано, Н.Абеля, К.Гаусса и К.Вейерштрасса. Понятие предела Б.Больцано и О.Коши как основной операции математического анализа; понятие бесконечно малой величины, непрерывности суммы ряда, производной, дифференциала и интеграла на основе понятия предела (О.Коши). Построение фундамента для работ по обоснованию анализа; построение теории вещественных чисел (Р.Дедекинд, Г.Кантор и К.Вейерштрасс), публикация основных работ Кантора по теории бесконечных множеств. Современное изложение начал математического анализа с точными формулировками и доказательствами на языке «ε – δ» у К.Вейерштрасса. Вопросы сходимости рядов (К.Маклорен, Ж.Даламбер, К.Гаусс, Б.Больцано, О.Коши, Н.Абель, П.Дирихле, О.Бонне, Б.Риман, Й.Раабе, Э.Куммер, Н.Лобачевский, Ж.Бертран, В.П.Ермаков). Равномерная сходимость рядов (Дж.Стокс, Л.Зейдель, К.Вейерштрасс). Разложение функции в тригонометрический ряд, коэффициенты Фурье (Ж.Фурье, Л.Дирихле). Интегралы Римана и Дарбу, классы интегрируемых функций (Б.Риман, Г.Дарбу, Г.Асколи, Г.Смит и П. дю Буа-Реймон, Г.Лебег).
  Школы Германского союза (Л.Дирихле, Б.Риман, Ф.Нейман, их ученики, К.Гаусс в сотрудничестве с Г.Вебером, Г.Шварц, Д.Гильберт, Р.Курант). Ученые Англии (Дж.Грин, Г.Стокс, У.Томсон, В.Р.Гамильтон, Дж.Максвел). Формула Гаусса-Остроградского. Задачи Дирихле, К.Неймана. Уравнение колебания струны и его решение (Тейлор, И.Бернулли, Д.Бернулли, Даламбер, Эйлер). Математический аппарат механики.
  Топология. Начало «комбинаторных», «гомологических» и «гомотопических» методов в работах Р.Римана и А.Пуанкаре; их разработка Л.Брауэром, О.Вебленом, Дж.Александером, С.Лефшетцем, Г.Хопфом. Построение теории общих топологических пространств (М.Фреше, Ф.Хаусдорф, П.С.Урысон, П.С.Александров, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин); применение топологических методов в анализе (Г.Биркгоф, М.Морс, Ю.Шаудер, Л.А.Люстерник).
  Формирование теории функций комплексного переменного: вхождение в математику мнимых и комплексных объектов (Р.Бомбелли, Г.В.Лейбниц, И.Бернулли); уравнения гидродинамики Даламбера-Эйлера; формулы Эйлера для показательной и логарифмической функций от комплексного аргумента, связь с тригонометрическими функциями; решение Эйлером задачи о конформном отображении областей сферы на плоскость; введение основных понятий – геометрическая интерпретация комплексного числа, интегрирование по комплексной переменной (Гаусс, Лаплас, Пуассон), теорема Коши, понятие вычета и теория вычетов, интегральная формула Коши. Ряд Р.Лорана. Формирование теории аналитических функций, краевые задачи, принцип Дирихле. Геометрическая теория аналитических функций: Риманова поверхность, конформные отображения. Дзета-функция Римана (гипотеза Римана) и аналитическая теория чисел. Развитие теории функций комплексного переменного (через степенные ряды) в работах К.Вейерштрасса – идеи аналитического продолжения, изучение конкретных классов функций. Аналитическая теория функций комплексного переменного, целые и мероморфные функции (К.Вейерштрасс, С.В.Ковалевская, М.Миттаг-Леффлер, Ш.Эрмит, Э.Пикар, Э.Лагерр, А.Пуанкаре). Работа Ж.Адамара об аналитическом продолжении и корректность по Адамару. Рабрты Пуанкаре, Клейна и Р.Кёбе о связи геометрии Лобачевского с римановыми поверхностями, о значении неевклидовой геометрии в изучении этих поверхностей и свойств связанных с ними аналитических функций. Специальные функции: модулярные функции Эрмита, автоморфные Клейна и Пуанкаре, алгебраические Абеля и Якоби, функции Л.Шварца. Связь теории функций комплексного переменного с другими разделами математики через внесение в неё понятий из теории множеств, из теории функций действительного переменного, теории групп и топологии, которые подверглись глубокому логическому анализу и уточнению.
  Теория функций действительного переменного как результат систематического построения математического анализа, глубже и шире изучающая общие определения и понятия анализа бесконечно малых – предел, топология числовой прямой, функция, интеграл, дифференциал : понятие меры множества, интеграл Лебега, проблема восстановления функции по её производной, переход к пределу под знаком интеграла, разложение функции в тригонометрические ряды и др. Основы современной теории функций действительного переменного в работах французских математиков (К.Жордан, Э.Борель, Г.Лебег, Р.Бэр, П.Леви). Влияние теории функций действительного переменного на другие разделы математики и её роль в приложениях.
  Становление и развитие функционального анализа, влияние теории функций действительного переменного и теории множеств на его методы. Взаимосвязь функционального анализа с классическим анализом, вариационным исчислением (задачи на максимум и минимум функционалов), с математической физикой (через теорию операторов – интегральные уравнения В.Вольтерра и Э.Фредгольма). Теория бесконечномерных пространств (в частности, пространств С.Банаха) и операторов в них, пространства и операторы Д.Гильберта, сингулярные интегральные уравнения Н.И.Мусхелишвили. Изучение общих вопросов функционального анализа (Ф.Рис, Дж.Нейман, Н.Данфорд, Дж.Т.П.Халмош, М.А.Наймарк, Л.Шварц, С.Банах, Д.Гильберт, работы под именем Н.Бурбаки, И.М.Гельфанд, Л.В.Канторович, М.А.Лаврентьев, С.Л.Соболев, М.К.Крейн и др.). Использование методов функционального анализа в различных разделах математикии и её приложений. Теория некорректных задач, теория обобщенных функций, и т.п
  Возрастающая роль дискретной математики в её приложениях – автоматы и автоматические линии, схемы оптимальной организации производственных процессов, электронные платы, транспортные потоки, системы связи и управления, коды и другие средства защиты информации, ЭВМ на принципах дискретного счёта. Разработка соответствующих математических моделей (графы, матрицы, блоксхемы, производящие функции, дискретно-геометрические построения, специальные схемы логических высказываний и т.п. Период накопления конкретных комбинаторных результатов: фигурные числа (с 19 века – графы), магические квадраты, биномиальные теоремы, арифметический треугольник (Пифагор, Диофант, Ферма, Декарт и др.). Первые теоретические построения, идеи общей комбинаторной теории (Г.В.Лебниц), К.Ф.Гинденбург), связь с вероятностными задачами, теорией чисел и алгеброй. Комбинаторика в работах Л.Эйлера (задачи о разбиениях чисел, о паросочетаниях, о числовых квадратах, циклические расстановки с выбыванием, задача о мостах в г. Кенигсберге). Комбинаторный анализ К.Ф.Гинденбурга и его последователей: попытка построения общей комбинаторной теории, построены алгоритмы работы с комбинаторными комплексами, использование комбинаторных методов в теории рядов и последовательностей, в работе с непрерывными дробями. Дискретные методы математического исследования в Х1Х веке: задачи о встречах, задачи о гостях, теория разбиений и метод производящих функций, развитие теории графов (проблема анализа химических соединений, задача о 4 красках), создание основ алгебраической топологии. Таблично-матричный и схемный аппарат, его связь с теорией конечных групп, конечных геометрий и его применение (И.Вейраух. А.Кели, Дж.Сильвестр, Т.Симпсон, И.Б.Листинг, У.Р.Гамильтон, Т.П.Киркман, К.Жордан, Д.Пойа, Ю.Х.Петерсен, А.Пуанкаре. Построение в ХХ веке общих комбинаторных теорий: Е.Нетто и его «Lehrbuch der Combinatorik» с дополнениями 1927 года (Вигго Брун, Туральд Теодор, Альберт Сколем). Комбинаторика Мак Магона, симметрические функции, теория инвариантов. Графовые интерпретации общей комбинаторной теории, теория графов как самостоятельная важная часть математики, аналогии между графами и структурами векторного пространства; образование, развитие и применение структуры «матроид» (Д.Кёниг, Д.Пойа, Веблен Освальд, Уитни).
  Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики. Парадоксы оснований: парадокс Кантора, парадокс Рассела; аксиоматическая теория множеств и разрешение известных парадоксов. Теоретико-множественная концепция строения математических теорий. Необходимость логического обоснования теории бесконечных множеств. Общее понятие равномощности у Г.Галилея. Потребности анализа (в частности, теории функций действительного переменного), формировавшие предмет математической логики и теории множеств. Г.Кантор – создатель теории множеств (работы о тригонометрических рядах и «исключительные» множества, «производные множества»; канторовский способ определения действительных чисел; проблемы равномощности, теория совершенно упорядоченных множеств, топологические свойства пространств и проблема меры). Кординальные числа и «проблема континуума» (наряду с Кантором Ф.Бернштейн, Е.Цермело), принцип трансфинитной индукции (К.Куратовский, Цорн). Работы Дедекинда по упорядоченным множествам, решеткам, первые примеры тшательного аксиоматического построения. Роль Д.Гильберта в распространении идей Г.Кантора. («Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»). Парадоксы оснований: парадокс Кантора, парадокс Рассела; аксиоматическая теория множеств и разрешение известных парадоксов.
  Некоторые варианты аксиоматизации теории множеств (система Цермело-Френкеля, система фон Неймана, Бернайса, К.Гёделя). Логические средства развития математических теорий.
  Вопросы логики у Э.Бореля, Р.Бэра, Ж.Адамара, А.Лебега. Формальная логика и интуиционистская логика (Брауэр).
  Разрешимые и неразрешимые алгоритмические проблемы. Логика предикатов и её законы; теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов. Теорема Мальцева о компактности и её приложения. Теорема Гёделя о неполноте арифметики и программа формализации Гильберта.
  
  Вехи истории вычислительной техники.
  Эскизный рисунок суммирующего устройства Леонардо да Винчи. Изобретение логарифмов и логарифмическая линейка. Машина В.Шиккарда (сложение. вычитание, табличное умножение и деление). «Паскалина» Б.Паскаля. Арифметический прибор» Г.В.Лейбница. Ж.Жакар. Ткацкий станок с программным управлением при помощи перфокарт. Гаспар де Прони. Новая технология вычислений: разработка численного метода, составление программы последовательности арифметических действий, проведение вычислений по программе.
  
  

Учёные (за все периоды): Вейерштрасс К., Гаусс К., Дедекинд Р., Клейн Ф., Лейбниц Г.В.

Россия

  Создание Н. И. Лобачевским (1826, опубликовано в 1829—30) и венгерским математиком Я. Больяи (1832) неевклидовой геометрии. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков. Теория случайных процессов А.Н.Колмогорова и Н.Винера. В.М.Глушков, Е.Л.Ющенко, А.А.Летичевский и др. Теоретическая и прикладная информатика. Новые информационные технологии: научное направление - искусственный интеллект и его приложения (использо¬вание логических методов доказательства правильности программ, обеспечение интерфейса t на профессиональном естественном языке с пакетами прикладных программ и др.).Расширение предмета математики.
  Расширение круга прикладных задач естествознания и техники, при исследовании которых используются различные разделы математики. Необходимость логического анализа большого фактического материала и объединение его с новых точек зрения.
  Основы современной теории функций действительного переменного в работах французских математиков (К.Жордан, Э.Борель, Г.Лебег, Р.Бэр, П.Леви). Ведущее значение в этом разделе математики исследований российской школы, созданной Д.Ф.Егоровым и особенно Н.Н.Лузиным. Виднейшие представители этой школы: Д.Е.Меньшов, А.Я.Хинчин, П.С.Александров, М.Я.Суслин, И.И.Привалов, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров и др. Вклад в теорию функций действительного переменного и теорию множеств польской школы В.Серпинского.
  П.Л.Чебышев и созданная им, исходившая из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений. С.Н.Бернштейн и контруктивная теория функций, в которой ведущее место принадлежит российским исследователям.
  Теория приближения ХХ века, пополнившаяся большим числом интересных, оригинальных работ, как самостоятельный раздел математики (П.Л.Чебышев, братья А.А. и В.А.Марковы, А.И.Коркин, Е.И.Золотарёв, Л.В.Гончаров, С.Н.Бернштейн, Н.К.Бари, Д.Е.Меньшов, А.Н.Колмогоров, С.М.Никольский, С.Б.Стечкин, П.Л.Ульянов, Н.П.Корнейчук, В.М.Тихомиров, П.П.Коровкин, В.К.Дзядык, Н.И.Ахиезер, братья М.Ф. и А.Ф.Тиманы, Н.П.Купцов и др.). Влияние теории функций действительного переменного на другие разделы математики и её роль в приложениях.
  Ведущее значение в этом разделе математики исследований российской школы, созданной Д.Ф.Егоровым и особенно Н.Н.Лузиным. Виднейшие представители этой школы: Д.Е.Меньшов, А.Я.Хинчин, П.С.Александров, М.Я.Суслин, И.И.Привалов, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров и др. Создание А.Н.Колмогоровым, А.Я.Хинчиным и др. основ теории «случайных» процессов и ассимптотическое изложение теории вероятностей, исходящее из усмотренных впервые Борелем аналогий между понятием вероятности и и понятием меры в теории функций действительного иеременного.
  Математический Институт им. Стеклова и его филиалы в Сибири (Новосибирский филиал), Институт Математики и Механики (Екатеринбург), в частности, Уральские математические школы: Теория некорректных задач (В.К. Иванов), теория приближений (С.Б. Стечкин), Теория оптимального управления (Н.Н. Красовский).Расширение предмета математики.
  Расширение круга прикладных задач естествознания и техники, при исследовании которых используются различные разделы математики. Необходимость логического анализа большого фактического материала и объединение его с новых точек зрения.
  Использование групп в кристаллографии (Е.С.Фёдоров, А.Шенфлис) и в квантовой физике (де Бройль, Е.Шреденгер, Дирак и др.). Проблема Д.Гильберта и её решение Л.С.Понтрягиным. Формирование линейной алгебры. Кватернионы и гиперкомплексные числа (У.Р.Гамильтон, Г.Грассман, Г.Фробениус). Аксиоматизация алгебры (Дж.Булль, Р.Дедекинд, Д.Гильберт, Э.Нетер, Э.Артин, О.Ю.Шмидт, А.Г.Курош). Новый подход к предмету алгебры – множества с аксиоматически заданными на них алгебраическими операциями.
  Геометрия. Неевклидова геометрия Н.И.Лобачевского. Я.Бойяи, К.Гаусс. Изменение взгляда на природу пространства. Вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии, её интерпретации (Е.Бельтрами «Опыт истолкования неевклидовой геометрии»; Ф.Клейн «О так называемой неевклидовой геометрии»; А.Пуанкаре – в работе над задачами геометрической теории функций комплексного переменного). Теория чисел после Эйлера. Труды Л.Эйлера по теории чисел как источник для позднейших исследований. Общая теория квадратичных форм К.Гаусса; создание теории идеалов Э.Куммером; обобщения сравнений и квадратичного закона взаимности у К.Гаусса, Э.Куммера, Д.Гильберта, завершенные общей формой этого закона у И.Р.Шафаревича и др. Развитие аналитической теории чисел, гипотеза Эйлера о бесконечности простых чисел в арифметической прогрессии, её решение у Лежандра и Дирихле.Поиски аналитического выражения закона распределения простых чисел: эмпирическая формула Лежандра, формула П.Л.Чебышева. Проблема Римана о расположении нулей дзета-функции. Аддитивная теория чисел, метод производящих функций в работах Эйлера, И.М.Виноградова, Г.Харди, Дж.Литлвуда. Задача Е.Варинга и её исследование Лагранж, Гильберт, Харди, Литлвуд, Виноградов). Создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградовым, доказательство им одной из проблем Гольдбаха. Применение аппарата непрерывных дробей при доказательстве трансцендентности чисел е (Ш.Эрмит) и π (Ф.Линдеман).
  Проблема Гильберта об арифметической природе алгебраической степени алгебраического числа, и её решение А.О.Гельфондом. Значителен вклад в теорию чисел работ российских (А.Н.Коркин, Г.Ф.Вороной, А.А.Марков) и советских (И.М.Виноградов, Л.Г.Шнирельман, Б.Н.Делоне, А.О.Гельфонд и др.) математиков.
  Уравнения математической физики. Парижская и Петербургская научные школы (С.Пуассон, И.Фурье, О.Коши, В.Я.Буняковский, М.В.Остроградский, В.А.Стеклов). Теория потенциала, теория обратных задач потенциала, способствовавшая появлению нового раздела математики – теории некорректных задач. Математическая теория теплопроводности. Ж.Б.Фурье. Ряды Фурье. Тригонометрические ряды Фурье (Дирихле, Лобачевский, Риман др.) Уравнение колебания струны и его решение (Тейлор, И.Бернулли, Д.Бернулли, Даламбер, Эйлер). Математический аппарат механики. Велик вклад российской школы в области уравнений математической физики (А.М.Ляпунов. В.А.Стеклов, С.Н.Бернштейн, Н.М.Гюнтер, А.Н.Крылов, В.И.Смирнов, И.Г.Петровский, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыш, Л.С.Соболев, А.Н.Тихонов и др.).
  Теория дифференциальных уравнений: Задача Коши, теоремы существования и единственности Коши, С.В.Ковалевская, Е.Пикар). Внедрение в теорию дифференциальных уравнений теоретико-групповых представлений (С.Ли, А.Пуанкаре) и создание качественных методов (топологические методы А.Пуанкаре, теория устойчивости А.М.Ляпунова). Теория динамических систем.
  Вклад математиков России в развитие теории дифференциальных уравнений (О.В.Ковалевская, В.А.Стеклов, А.Н.Крылов, А.М.Ляпунов, В.В.Степанов, Н.Н.Боголюбов, И.Г.Петровский и др.).
  Топология. Начало «комбинаторных», «гомологических» и «гомотопических» методов в работах Р.Римана и А.Пуанкаре; их разработка Л.Брауэром, О.Вебленом, Дж.Александером, С.Лефшетцем, Г.Хопфом. Построение теории общих топологических пространств (М.Фреше, Ф.Хаусдорф, П.С.Урысон, П.С.Александров, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин); применение топологических методов в анализе (Г.Биркгоф, М.Морс, Ю.Шаудер, Л.А.Люстерник).
  Формирование теории функций комплексного переменного: вхождение в математику мнимых и комплексных объектов (Р.Бомбелли, Г.В.Лейбниц, И.Бернулли); уравнения гидродинамики Даламбера-Эйлера; формулы Эйлера для показательной и логарифмической функций от комплексного аргумента, связь с тригонометрическими функциями; решение Эйлером задачи о конформном отображении областей сферы на плоскость; введение основных понятий – геометрическая интерпретация комплексного числа. Аналитическая теория функций комплексного переменного, целые и мероморфные функции (К.Вейерштрасс, С.В.Ковалевская, М.Миттаг-Леффлер, Ш.Эрмит, Э.Пикар, Э.Лагерр, А.Пуанкаре). Работы Н.Е.Жуковского и С.А.Чаплыгина и их приложения в аэро- и гидродинамике. Связь теории функций комплексного переменного с другими разделами математики через внесение в неё понятий из теории множеств, из теории функций действительного переменного, теории групп и топологии, которые подверглись глубокому логическому анализу и уточнению.
  Ведущее значение в этом разделе математики исследований российской школы, созданной Д.Ф.Егоровым и особенно Н.Н.Лузиным. Виднейшие представители этой школы: Д.Е.Меньшов, А.Я.Хинчин, П.С.Александров, М.Я.Суслин, И.И.Привалов, Н.К.Бари, А.Н.Колмогоров и др. Вклад в теорию функций действительного переменного и теорию множеств польской школы В.Серпинского.
  П.Л.Чебышев и созданная им, исходившая из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений. С.Н.Бернштейн и контруктивная теория функций, в которой ведущее место принадлежит российским исследователям.
  Теория приближения ХХ века, пополнившаяся большим числом интересных, оригинальных работ, как самостоятельный раздел математики (П.Л.Чебышев, братья А.А. и В.А.Марковы, А.И.Коркин, Е.И.Золотарёв, Л.В.Гончаров, С.Н.Бернштейн, Н.К.Бари, Д.Е.Меньшов, А.Н.Колмогоров, С.М.Никольский, С.Б.Стечкин, П.Л.Ульянов, Н.П.Корнейчук, В.М.Тихомиров, П.П.Коровкин, В.К.Дзядык, Н.И.Ахиезер, братья М.Ф. и А.Ф.Тиманы, Н.П.Купцов и др.). Влияние теории функций действительного переменного на другие разделы математики и её роль в приложениях.
  Становление и развитие функционального анализа, влияние теории функций действительного переменного и теории множеств на его методы. Взаимосвязь функционального анализа с классическим анализом, вариационным исчислением (задачи на максимум и минимум функционалов), с математической физикой (через теорию операторов – интегральные уравнения В.Вольтерра и Э.Фредгольма). Теория бесконечномерных пространств (в частности, пространств С.Банаха) и операторов в них, пространства и операторы Д.Гильберта, сингулярные интегральные уравнения Н.И.Мусхелишвили. Изучение общих вопросов функционального анализа (Ф.Рис, Дж.Нейман, Н.Данфорд, Дж.Т.П.Халмош, М.А.Наймарк, Л.Шварц, С.Банах, Д.Гильберт, работы под именем Н.Бурбаки, И.М.Гельфанд, Л.В.Канторович, М.А.Лаврентьев, С.Л.Соболев, М.К.Крейн и др.). Использование методов функционального анализа в различных разделах математикии и её приложений. Теория некорректных задач, теория обобщенных функций, и т.п
  Вычислительная математика. Выделение самостоятельной ветви математики – численные методы анализа. Численное интегрирование дифференциальных уравнений (метод Дж.Адамса-К.Штёрмер, метод К.Рунге, метод последовательных приближений, обоснованный Е.Пикаром, метод С.А.Чаплыгина, метод С.А.Гершкорина, метод В.Ритца, получивший развитие в работах Б.Г.Галёркина и М.В.Келдыша и др.). Роль А.Н.Крылова в развитии всех направлений в области численных методов в СССР. Связь численных методов анализа с функциональным анализом (Л.В.Канторович). Математические таблицы, «теория табулирования». Использование ЭВМ, теория программирования.
  Создание теории вероятностей. Предыстория понятия вероятности и случайного события (Д.Кардано, Н.Тарталья, Г.Галилей, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс и др.). Бурный рост статистических концепций в различных областях естествознания, неизбежность привлечения методов теории вероятностей в приложениях от теории артиллерийской стрельбы и теории ошибок до развития статистической физики и механики и разработки аппарата математической статистики). Формирование основ теории вероятностей (Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, Т.Байес, К.Гаусс, С.Пуассон и др). Статьи М.В.Остроградского и В.Я.Буняковского по теории вероятностей и математической статистике, первый учебник по теории вероятностей В.Я.Буняковского. Глубокие теоретические исследования по общим вопросам теории вероятностей в работах русской школы (П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов): вопрос об условиях применимости центральной предельной теоремы. Фундаментальные работы С.Н.Бернштейна, завершившего работы чебышевской школы и начавшего целый ряд теоретических и прикладных направлений, в частности по формально-логическому обоснованию теории вероятностей. Исследования школы В.И.Романовского в Ташкенте (математическая статистика, цепи Маркова в теории интегральных уравнений). Создание А.Н.Колмогоровым, А.Я.Хинчиным и др. основ теории «случайных» процессов и ассимптотическое изложение теории вероятностей, исходящее из усмотренных впервые Борелем аналогий между понятием вероятности и и понятием меры в теории функций действительного иеременного. Теория случайных процессов: А.К.Эрланг (математическая теория загрузки информационных сетей; В.Вольтерра (математическая биология – динамика развития биологических популяций); А.Эйнштейн (броуновское движение на основе теоретико-вероятностных предпосылок); теория моделей Н.Винера. Основополагающие работы Маркова А.А., Е.Е.Слуцкого, А.Н.Колмогорова, А.Я.Хинчина. Московская школа теории вероятностей. Возрастание значения статистических исследований, введение статистических методов в ряд наук – биометрика, эконометрика. Создание математической статистики в тесной связи с теорией вероятностей.
  Комбинаторика в работах Л.Эйлера (задачи о разбиениях чисел, о паросочетаниях, о числовых квадратах, циклические расстановки с выбыванием, задача о мостах в г. Кенигсберге). Изменение структуры математики и её приложений с появлением ЭВМ. Выход на передний план дискретных методов математического исследования. Значение машинной математики для дискретных методов: облегчение переборов ситуаций и подсчёт вариантов решений, при решении комбинаторных задач экстремального типа, изучение сложных систем, постановка новых перспективных проблем. Активные исследования комбинаторного характера во второй половине ХХ века (Дж.Риордан, К.Берж, М.Холл, Г.Дж.Райзер, К.А.Рыбников, В.Н.Сачков и др.). Появление новых разделов дискретной математики: математическая теория кодирования, теория сетей, целочисленное программирование, теория автоматов и ряд других направлений
  

Учёные (за все периоды): Буняковский В.Я., Виноградов И.М., Колмогоров А.Н., Лузин Н.Н., Магницкий Л.Ф., Остроградский М.В., Хинчин А.Я., Чебышев П.Л., Эйлер Л.

США

  Учреждена филдсовская премия за выдающиеся достижения в математике. Большие достижения в кибернетике и компьютерной математике. Работы по теории информации и кибернетике К.Шеннона. Алгебра логики Дж. Буля, абстрактная «машина А. Тьюринга». «Метод критического пути» М.Уолкер и Дж.Келли. Персептроны Э.Бравермана и Г.Розенблата. Теория случайных процессов А.Н.Колмогорова и Н.Винера. Бихевиористская статистика Неймана. Герман Холлерит придумал статистический табулятор, который помог сократить расходы и время на перепись населения 1880 года, а позже основал фирму IBM. Винер Н. дал начало теории искусственного интеллекта. Джон фон Нейман - праотец современной архитектуры компьютеров.
  Топология. Начало «комбинаторных», «гомологических» и «гомотопических» методов в работах Р.Римана и А.Пуанкаре; их разработка Л.Брауэром, О.Вебленом, Дж.Александером, С.Лефшетцем, Г.Хопфом. Построение теории общих топологических пространств (М.Фреше, Ф.Хаусдорф, П.С.Урысон, П.С.Александров, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин); применение топологических методов в анализе (Г.Биркгоф, М.Морс, Ю.Шаудер, Л.А.Люстерник).
  История жизни американского физика и математика Яноша фон Неймана. Труды ученого по функциональному анализу, квантовой механике, логике, метеорологии. Вклад в создание первых ЭВМ и разработку методов их применения. Роль теории игр Неймана в экономике.
  Американское математическое общество — ассоциация профессиональных математиков США. Общество способствует развитию математической науки и преподавания математики. Издает научные журналы, организует конференции, ежегодно присуждает денежные гранты и призы математикам, оплачивает обучение одаренной молодежи.
  Общество было содано в 1888 в Нью-Йорке по инициативе Томаса Фиске. В качестве образца послужило Лондонское математическое общество, работа которого произвела большое впечатление на Фиске.
  Первым президентом был избран Джон Ховард Ван Амриндже, а Томас Фиске стал первым секретарем общества. Фиске также стал редактором журнала, который Нью-Йоркское математическое общество стало издавать.
  В 1894 общество уже имело достаточно членов за пределами Нью-Йорка и получило современное название — Американское математическое общество.
  В 1951 году штаб квартира общества переехала в город Провиденс, штат Род-Айленд.
  В 1900 году начали издаваться Transactions of the American Mathematical Society.
  В 1988 году начал издаваться Журнал Американского математического общества.