Арабский Халифат

  Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9—15 веков учёные Средней Азии, Ближнего Востока и Пиренейского полуострова пользовались арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 веке деятельность Улугбека, который при своём дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными астрономические наблюдения, вычисление математических таблиц и т. п.
  
  В западноевропейской науке длительное время господствовало мнение, что роль «арабской культуры» в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Западной Европы математических открытий древнего мира и Индии. (Так, сочинения греческих математиков впервые стали известны в Западной Европе по арабским переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной советской Средней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.
  
  В 1-й половине 9 века Мухаммед бен Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин «алгебра» производят от начала названия сочинения Хорезми «Аль-джебр», по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Омар Хайям систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конических сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Средней Азии и Ближнего Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии).
  
  В связи с астрономическими и геодезическими работами большое развитие получила тригонометрия. Аль-Баттани ввёл в употребление тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрических функций, он же выразил словесно алгебраические зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10

Учёные (за все периоды): Ал-Каши, Ал-Хорезми

Китай

  Наличие у китайских математиков высокоразработанной техники вычислений и интереса к общим алгебраическим методам обнаруживает уже «Арифметика в девяти главах», составленная по более ранним источникам во 2—1 веках до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном. В этом сочинении описываются, в частности, способы извлечения квадратных и кубических корней из целых чисел. Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчётливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. В связи с календарными расчётами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 веками) и более полно Цинь Цзю-шао (13 век) дают изложенное на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач. Примером высокого развития вычислительных методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 века), который показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах
  
  3,1415926 < π < 3,1415927.
  
  Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 века). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математиков 13—14 веков Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе.

Англия

  Ясное понимание природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [английский математик Т. Брадвардин (1-я половина 14 века) и Н. Орем (середина 14 века)] и введение дробных (Н. Орем). Появление Кембриджского и Оксфордского университетов. Формирование математической науки (VI в.до н.э. – VI в.н.э.).
  Теория делимости. Геометрическая алгебра. Характеристика класса задач, которые можно решать с помощью «геометрической алгебры». Доказательства теоремы Пифагора, ряда алгебраических формул и решение квадратного уравнения методами геометрической алгебры. Знаменитые задачи античности:о квадратуре круга,о тисекции угла,об удвоении куба. Роль этих задач для развития математики (механические кривые, конические сечения Аполлония и аналитическая и проективная геометри и др.).
  Математика постоянных величин в VI–XVI вв.
  Вопросы существования решений уравнения с использованием соображений инфинитезимального характера. .
  Состояние математических знаний в странах Западной Европы и в России в средние века и в эпоху Возрождения.
  Десятичные дроби и правили арифметических действий с ними у С.Стевина. Математика в странах западной Европы в XVII веке. Математика и задачи практики. Математизация законов природы. Приближенное решение уравнений. Открытие логарифмов (И.Бюрги, Дж.Непер). Джон Непер (англ. John Napier; 1550—1617) — шотландский барон, математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц.Десятичные логарифмы (Г.Бриггс). Элементы грядущего анализа бесконечно малых при приближенном нахождении логарифмов (идея логарифмической функции Н.Меркатора и ее степенного ряда). Десятичные логарифмы (Г.Бриггс, Дж.Непер, Э.Гюнтер). Логарифмы и музыка.

Учёные (за все периоды): Беркли Дж., Валлис Дж., Ньютон И., Тейлор Б.

Франция

  Указан способ составления уравнений n-й степени, введение отрицательных и нулевых показателей степеней. Первое точное аналитическое выражение числа π в виде бесконечного произведения.
  Учёные: Виет, Н. Шюке
  Формирование математической науки (VI в.до н.э. – VI в.н.э.).
  Знаменитые задачи античности. в средние века и в эпоху Возрождения.
  Десятичные дроби и правили арифметических действий с ними у С.Стевина. Развитие алгебраической символики (П.Рамус, Ф.Виет и др.). Отрицательные числа. Развитие понятия числа. Развитие плоской и сферической тригонометрии (Виет, Региомонтан, Н.Коперник).
  Математика в странах западной Европы в XVII веке. Математика и задачи практики. Математизация законов природы. Появление университетов, организация преподавания в университетах. Леонардо да Винчи, А.Дюрер. Правило перспективы. Ф.Виет и его «Введение в аналитическое искусство». Исчисление треугольников, эквивалентное оперированию с комплексными числами. Десятичные логарифмы (Г.Бриггс, Дж.Непер, Э.Гюнтер). Арифметическая природа числа π (Архимед, Виет, в частности, аналитическое представление в виде бесконечного произведения). Вычислительная машина В.Шиккарда.
  

Учёные (за все периоды): Виет Ф., Галуа Э., Декарт Р., Жордан К., Коши О., Лагранж Ж., Лаплас П., Лебег А., Ферма П.

Германия

  М.Штифель независимо от Джемшида открыл закон образования биномиальных коэффициентов. Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии ещё ранее 16 века, излагается немецким художником А. Дюрером (1525). Книга Симона Стевина "Десятая", после которой в Европе стали использовать десятичные. Формирование математической науки (VI в.до н.э. – VI в.н.э.).
  Создание математики как абстрактной дедуктивной науки в Древней Греции. Школа Пифагора. Открытие несоизмеримости и создание геометрической алгебры.
  Знаменитые задачи античности. Роль этих задач для развития математики Платон и Аристотель. Мусейон Александрии. Аксиоматическое введение понятия величины у Евдокса. Отношения у Евдокса (вещественное число). Метод исчерпывания и инфинитезимальные методы Евдокса и Архимеда. Архимед – великий учёный Древнего мира. Аксиоматическое построение математики в "Началах" Евклида. Превращение геометрии в дедуктивную систему. Влияние «Начал» на развитие математики. Пятый постулат. Аксиоматика Гильберта. Неевклидовы геометрии. Наука первых веков нашей эры. «Механика» Герона, «Алмагест» Птолемея, его «География». Трансцендентные кривые. Сферическая геометрия Менелая и тригонометрия. Изопериметрические задачи Зенодора. Возникновение буквенной алгебры в сочинениях Диофанта и начало изучения неопределенных уравнений. Связь диофантовых уравнений с рядом проблем теории чисел.
  • Легенда о Пифагоре. От логистики (практической арифметики) к теоретической арифметике, к теории чисел. Натуральные числа у Пифагора («всё есть число»), фигурные числа, совершенные числа, дружественные числа, отношения (пропорции), связь с определениями рациональных чисел, связь с мазыкальными интервалами. Открытие несоизмеримости (одно из доказательств, приписываемых школе Пифагора). Теория делимости. Геометрическая алгебра. Характеристика класса задач, которые можно решать с помощью «геометрической алгебры». Доказательства теоремы Пифагора, ряда алгебраических формул и решение квадратного уравнения методами геометрической алгебры. Аксиома Евдокса-Архимеда. Отношения у Евдокса (вещественное число: от Евдокса до Дедекинда). Легеда о Евдоксе. Знаменитые задачи античности. Роль этих задач для развития математики (механические кривые, конические сечения Аполлония и аналитическая и проективная геометри и др.). Архимед – великий инженер-изобретатель (его роль в защите Сиракуз). Переписка Архимеда с учеными Александрии (Досифей, Эратосфен). Архимед и его «Псаммит» (исчисление песчинок). «Механические» выводы геометрических формул, используемые Архимедом, зарождение интегрального исчисления. Архимед и число π. Архимед и его формула для объема шара. Легенда о Евклиде. «Начала» Евклида. Легенда о Диофанте. Десятая проблема Гильберта. Связь диофантовых уравнений с рядом проблем теории чисел, с непрерывными дробями.
  Математика постоянных величин в VI–XVI вв.
  Математика Китая в V-ХVI вв. Вычислительные алгоритмы «ФАН-ЧЭН», «ТЯНЬ-ЮАНЬ». Отрицательные числа.
  Математика Индии в V-XVI вв. Ариабхата – «Коперник Востока», Брахмагупта, Бхаскара. Распространение на территории стран ислама. Создание арифметики на основе десятичной позиционной системы счисления, разработка тригонометрии, появление развитой алгебраической символики.
  Математика стран Арабского халифата. Научные центры: Багдад, Бухара и Хорезм, Каир, Кордова, Марага, Самарканд и др. Сочетание прикладных и теоретических исследований. Алгоритмические методы на стыке алгебры и геометрии. Ал-Хорезми. Влияние его работ на развитие математики.
  Происхождение слов «алгебра» и «алгоритм». Классификация квадратных уравнений. Омар-Хайям: геометрическая теория кубических уравнений, астрономические исследования, комментарий к евклидовой теории параллельных и отношений. Ал-Караджи и его наука исчисления. Появление разнообразной алгебраической символики.
  Выделение алгебры в самостоятельную область математики. Извлечение корней способом рациональных приближений, связь с десятичными дробями. Вопросы существования решений уравнения с использованием соображений инфинитезимального характера. Формирование тригонометрии в приложениях математики к астрономии. Состояние математических знаний в странах Западной Европы в средние века и в эпоху Возрождения.
  Проникновение восточной математики на Запад. Переводы с арабского и греческого, знакомство с греческой математикой. Десятичные дроби и правили арифметических действий с ними у С.Стевина. Развитие алгебраической символики (П.Рамус, Ф.Виет и др.). Отрицательные числа. Развитие понятия числа. Развитие плоской и сферической тригонометрии (Виет, Региомонтан, Н.Коперник).
  Математика в странах западной Европы в XVII веке. Математика и задачи практики. Математизация законов природы. Элементы грядущего анализа бесконечно малых при приближенном нахождении логарифмов (идея логарифмической функции Н.Меркатора и ее степенного ряда). А.Дюрер. Правило перспективы. Десятичные логарифмы (Г.Бриггс, Дж.Непер, Э.Гюнтер). . Вычислительная машина В.Шиккарда.
  

Учёные (за все периоды): Вейерштрасс К., Гаусс К., Дедекинд Р., Клейн Ф., Лейбниц Г.В.

Греция

  В Древней Греции имели хождение две основных системы счисления – аттическая и ионическая.
  Аттическая система счисления использовалась греками уже к 5 в. до н.э. По существу это была десятичная система (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов. Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, означала числа до четырех. После четырех черт греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели еще один новый символ D, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной, грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ H означал 100, X – 1000, символ M – 10000.
  
  Вторая принятая в Древней Греции система счисления - ионическая система получила широкое распространение в начале Александрийской эпохи, хотя возникнуть она могла несколькими столетиями раньше, по всей видимости, уже у пифагорейцев. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам. Другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные.
  
  Ионическая система первоначально не сильно потеснила уже установившуюся аттическую систему исчисления. Официально она была принята в Александрии во времена правления Птолемея и в последующие годы распространилась оттуда по всему греческому миру, включая Аттику. Переход к ионической системе счисления произошел в золотой век древнегреческой математики и, в частности, при жизни двух величайших математиков античности. Есть нечто большее, чем просто совпадение, в том, что именно тогда Архимед и Аполлоний работали над усовершенствованием системы обозначения больших чисел. Архимед, придумавший схему октад, (эквивалентную современному использованию показателей степени числа 10) гордо заявлял в своем сочинении «Псаммит» («Исчисление песчинок»), что может численно выразить количество песчинок, необходимых для того, чтобы заполнить всю известную тогда Вселенную. Изобретенная им система обозначения чисел включала число, которое ныне можно было бы записать в виде единицы, за которой следовало бы восемьдесят тысяч миллионов цифр.
  
  Для обозначения дробей греки использовали приемы древних египтян и вавилонян. Египетское влияние в Греции было достаточно сильным, чтобы навязать грекам употребление лишь аликвотных дробей, однако большие вычислительные удобства системы счисления вавилонян побудили живших позднее александрийских астрономов перейти к использованию шестидесятиричных дробей. Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями
  Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон и Диофант, самые известные арифметики среди древнегреческих математиков, записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Но предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятиричным дробям.
  Областью, в которой практические вычисления испытывали величайшую потребность в точных дробях, была астрономия, а здесь вавилонская традиция была настолько сильна, что шестидесятиричная система обозначений угловых, дуговых и временных величин сохраняется до сих пор.

Учёные (за все периоды): Архимед, Демокрит, Диофант, Евдокс, Зенон, Пифагор

Индия

  Расцвет индийской М. относится к 5—12 векам (наиболее известны индийские математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы счисления и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», не вполне выяснено. Второй, ещё более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Однако обычно при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 веке) получают самостоятельное значение. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса
  
  
  Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами. В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр. Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами.
  Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие. Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Процесс записи чисел и проведение арифметических операций над ними делались индийцами на белой доске, засыпанной красным песком. Орудием для записи служила палочка. Таким образом, при записи на красной поверхности появлялись белые знаки, прочерченные палочкой.
  
  
  Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. Одной из первых нумераций, применявшихся в Индии, были цифры «кхарошти». Числа «кхарошти» записывались справа налево.
  
  
  В отличие от цифр кхарошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. Важным отличием цифр брахми от кхарошти было наличие специальных знаков для чисел от 1 до 9. Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой для создания в Индии десятичной позиционной нумерации.
  
  
  Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления. Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр.
  
  
  Позиционная система счисления с нулем возникла не в Индии, поскольку за много веков до этого она использовалась в Древнем Вавилоне.
  Однако происхождение индийского символа для нуля окутано тайной. Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.
  
  
  Очень скоро потребовалось введение нового числа — нуля. Учёные расходятся во мнениях, откуда в Индию пришла эта идея — от греков, из Китая или индийцы изобрели этот важный символ самостоятельно. Первый код нуля обнаружен в записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка. Как ни странно, ни греки, ни индийцы не включили в свои системы счисления десятичные дроби, но именно индийцам мы обязаны современной системой записи обыкновенных дробей с числителем, расположенным над знаменателем. Действия с дробями ничем не отличались от современных.
  
  
  Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари (см. таблицу обозначений чисел). В индийской системе число 6789 записывалось бы как. Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари.
  
  
  Позиционная система счисления с нулем возникла не в Индии, поскольку за много веков до этого она использовалась в Древнем Вавилоне в связи с шестидесятиричной системой. Поскольку индийские астрономы использовали шестидесятиричные дроби, вполне возможно, что это навело их на мысль перенести позиционный принцип с шестидесятиричных дробей на целые числа, записанные в десятичной системе. В итоге произошел сдвиг, приведший к современной системе счисления. Не исключена также возможность, что такой переход, по крайней мере отчасти, произошел в Греции, скорее всего в Александрии, и оттуда распространился в Индию. В пользу последнего предположениясвидетельствует сходство кружка, обозначающего нуль, с начертанием греческой буквы омикрон.

Учёные (за все периоды): Ариабхата

Италия

  При вычислении приближённых значений всегда указывалась погрешность. Написаны Эвклидовы "Начала" и "Арифметика" Диофанта. Составлена таблицы хорд, исполняющие роль наших таблиц синусов (Гиппарх). Первое применение системы координат (Птолемей). Решение уравнений третьей и четвертой степени итальянскими алгебраистами (С. Ферро, Н.Тарталья, ДФормирование математической науки (VI в.до н.э. – VI в.н.э.).
  Математика постоянных величин в VI–XVI вв.
  Состояние математических знаний в странах Западной Европы в средние века и в эпоху Возрождения.
  Проникновение восточной математики на Запад. Переводы с арабского и греческого, знакомство с греческой математикой. "Книга Абака" и «Практическая геометрия» Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Появление университетов, организация преподавания в университетах. Н.Орем. Книгопечатание. Лука Пачоли и его «Сумма арифметики». Решение уравнений третьей и четвертой степени итальянскими алгебраистами (С.Ферро, Н.Тарталья, Дж.Кардано, Л.Феррари). Появление мнимых чисел у Дж.Кардано и Р.Бомбелли. Математика в странах западной Европы в XVII веке. Математика и задачи практики. Математизация законов природы. Приближенное решение уравнений. Разложение квадратного корня в непрерывную дробь Р.Бомбелли. «Книга Абака" Леонардо Пизанского ( Фибоначчи). Числа Фибоначчи, связь с возвратными последовательностями, с Золотым сечением. Решение уравнений третьей и четвёртой степенеё Феоре,Тарталья, Кардано, Феррари.Дж. Кардано и его «Великое искусство». Зарождение теории вероятностей у Кардано («Книга об игре в кости»: закон больших чисел, комбинаторика). «Необычные» задачи из книги Луки Паччоли из теории игр. История, наполненная интригами (о нахождении формул решения уравнений третей и четвертой степени). Появление университетов, организация преподавания в университетах. Леонардо да Винчи, А.Дюрер. Правило перспективы. ж. Кардано, Л.Феррари)). Появление мнимых чисел у Кардано и Р. Бомбелли.

Учёные (за все периоды): Бомбелли Р., Дель Ферро, Кардано Дж., Лагранж Ж., Руффини П., Тарталья Н., Фибоначчи