Египет

  Математика в Древнем Египте: практические вычислительные задачи с конкретным содержанием. Первые достижения арифметики, геометрии, алгебры: возникновение позиционной системы счисления, разработана алгебра решения линейных уравнений и систем, открыты некоторые геометрические формулы (в частности, формула объёма усечённой пирамиды), решаются простейшие теоретико-числовые задачи, появление первых «теоретических» задач. Формирование первичных понятий: натуральные числа и геометрические фигуры. Языковые единицы обозначали конкретные связи, взаимодействия, объекты. Рецептурный характер математики этого периода.
  ЧИСЛО. Натуральные числа. Появление различных эталонов счёта. Первые позиционные системы. Переход к единому удобному эталону, который становится основой системы счисления. Натуральные числа и обыкновенные дроби с числителем, равным единице дробь 1/2.Первые геометрические фигуры: орудия труда, сосуды, земельные участки и т.п. Изображения в живописи, архитектуре. Этнографический и лингвистический анализ первых терминов, выделение эталонов-названий. Правила вычисления площадей и объёмов, приближенное нахождение диагонали квадрата, радиуса описанной около треугольника окружности, площади правильного многоугольника («неправильные формулы» и их точность). Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии, была существенно облегчена тем, что все надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки. Десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона.
  Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне. Но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале –
  папирусе. Излагается материал и методы работы с материалом, решения задач в виде рецептов.
  Первые теоретические задачи.

Вавилония

  Письменность шумеров является такой же древней, как и письменность египтян. Развитие способов представления чисел в Месопотамской долине вначале шло так же, как и в Египте, но затем жители Междуречья ввели совершенно новый принцип. Вавилоняне делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигались на солнце или в печи. Эти записи на клинописных табличках оказались исключительно долговечными, а потому, в отличие от египетских папирусов, дошедших до нас в весьма малом числе экземпляров, в музеях мира их хранится около нескольких тысяч. Однако жесткость материала, на котором жители Месопотамии делали записи, оказала глубокое влияние на развитие числовых обозначений. Вскоре система счисления в Месопотамии стала шестидесятеричной, хотя сохранилось также и основание 10. Предполагалось, что выбор пал именно на число 60 как на основу вавилонской системы счисления именно потому, что это связано было с тем, что продолжительность земного года считалась равной 360 дням. Но это не получило подтверждения. Сейчас считается, что шестидесятеричная система была выбрана из метрологических соображений, т.к число 60 имеет много делителей.
  [HIDDEN]Для малых чисел вавилонская система счисления в основных чертах напоминала египетскую. Одна вертикальная клинообразная черта означала единицу. Повторенный нужное число раз этот знак служил для записи чисел меньше десяти. Для обозначения числа 10 вавилоняне, как и египтяне, ввели новый коллективный символ – более широкий клиновидный знак с острием, направленным влево, напоминающий по форме угловую скобку[HIDDEN].
  Для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на «места», или «позиции», и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления оставалась псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Однако в период правления Селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа. Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее, изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.
  Превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Решали квадратные уравнения (по рецепту).
  Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты – на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления.Вавилоняне знали теорему Пифагора,некоторые пифагоровы тройки.

Китай

  Китайская нумерация основана на мультипликативном принципе. Форма китайских иероглифических цифр, возникших во II тысячелетии до н.э., установилась к III в. до н.э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. При записи, например, числа, состоящего из тысяч, сотен, десятков и единиц, сверху или слева записывается число тысяч, затем знак тысячи, число сотен, знак сотни, число десятков, знак десятков и, наконец, число единиц. Если какой-нибудь разряд отсутствует, он пропускается. Разряды записываются сверху в низ или слева направо. Первые три иероглифа, очевидно, очевидно, представляют собой изображение одного, двух и трех пальцев, счетных палочек или зарубок.
  Если мы будем обозначать цифры от 1 до 9 нашими обычными цифрами, а 10, 100, 1000 – римскими цифрами Х, С, М, мы можем записать число 1968 год этим способом в виде 1М9С6Х8. Видоизменениями этих иероглифов являются китайские коммерческие цифры, приведенные во втором столбце той же таблицы.
  Арифметические действия в древнем и средневековом Китае производились на счетной доске с помощью счетных палочек. Слово "суань" – "считать" обозначается тем же иероглифом, что и счетная палочка. Счетные палочки делались из бамбука, слоновой кости или металла. Когда были изобретены отрицательные числа, палочки стали делать двух цветов – красные и черные или с различными сечениями –квадратным и треугольным. Палочки раскладывались на счетной доске , которая, как полагают, была разлинована на строки и столбцы. Оно было хорошо заметно благодаря чередованию вертикального и горизонтального положения палочек. В математической литературе эти цифры изображались на бумаге; в этом случае отсутствие разряда указывалось знаком, приведённом в таблице.
  Таким образом, на счетной доске мультипликативный принцип, на котором была основана иероглифическая запись цифр, оказался не нужным, запись стала позиционной. Однако в отличии от вавилонян, применявших позиционную номинацию и в письме, китайцы пользовались ею только на счётной доске.
  О счёте с помощью палочек упоминал ещё философ Мэн-цзы (372 – 289 до н. э.). Первым дошедшим до нас письменным свидетельством об этом счёте являются слова математика III в. Сунь-цзы : "В методах, которые употребляются при обычном счёте, прежде всего следует познакомится с разрядами : единицы вертикально, десятки горизонтальны; сотни стоят, тысячи лежат; тысячи и десятки выглядят одинаково, десятки тысяч и сотни тоже".
  В последствии на основе счётной доски возник счётный прибор суаньпань, напоминающие русские счёты. Японцы, перенявшие этот прибор у китайцев, называют его " сарабан". Суаньпань представляет собой прямоугольную рамку, в которой натянуты 12 или более параллельных проволок. Перпендикулярно проволокам проведена перегородка, разделяющая рамку на две неравные части. В большем отделении на каждой проволоке нанизано по пять подвижных шариков, в меньшем – по два. Проволоки соответствуют десятичным разрядам, каждый шарик меньшего отделения имеет значение, равное значениям пяти шариков большего отделения на той же проволоки.
  Дроби у китайцев появились почти одновременно с целыми числами, задолго до отрицательных чисел. Первыми дробями были 1/2, 1/3 и 2/3, называвшиеся "половиной", "малой половиной" и "большой половиной" соответственно (эти названия применялись как в обиходе, так и в математических текстах).
  Отрицательные числа выделялись на счётной доске палочками другого цвета или другой формы, а при письме записывались другими чернилами или отмечались косой чертой. Для них имелось особое название - "фу", в то время как положительные назывались "чжэн". Числа фу выступали не только как разности двух чисел чжэ, но и как отдельные элементы таблиц коэффициентов.

Индия

  Письменных памятников древнеиндийской цивилизации сохранилось очень немного, но, судя по всему, индийские системы счисления проходили в своем развитии те же этапы, что и во всех прочих цивилизациях. На древних надписях из Мохенджо-Даро вертикальная черточка в записи чисел повторяется до тринадцати раз, а группировка символов напоминает ту, которая знакома нам по египетским иероглифическим надписям. В течение некоторого времени имела хождение система счисления, очень напоминающая аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система, которая называется кхарошти, постепенно уступила место другой, известной под названием брахми, где буквами алфавита обозначались единицы (начиная с четырех), десятки, сотни и тысячи. Переход от кхарошти к брахми происходил в те годы, когда в Греции, вскоре после вторжения в Индию Александра Македонского, ионическая система счисления вытеснила аттическую. Вполне возможно, что переход от кхарошти к брахми происходил под влиянием греков, но сейчас вряд ли возможно хоть как-то проследить или восстановить этот переход от древних индийских форм к системе, от которой произошли наши системы счисления. Надписи, найденные в Нана-Гат и Насике, относящиеся к первым векам до нашей эры и первым векам нашей эры, по-видимому, содержат обозначения чисел, которые были прямыми предшественниками тех, которые получили теперь название индо-арабской системы. Первоначально в этой системе не было ни позиционного принципа, ни символа нуля. Оба эти элементы вошли в индийскую систему к 8–9 вв. вместе с обозначениями деванагари (см. таблицу обозначений чисел). Здесь мы впервые встречаемся с элементами современной системы счисления: индийская система была десятичной, цифровой и позиционной. При желании можно даже усмотреть некоторое сходство в начертании современных цифр и цифр деванагари.

Учёные (за все периоды): Ариабхата